Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形
（1）求證：BC∥平面C₁B₁N；
（2）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（3）設(shè)M為AB中點，在BC邊上找一點P，使MP∥平面CNB₁，并求

BP

PC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用幾何體的三視圖，判斷側(cè)面BCC₁B₁是矩形，利用直線與平面平行的判定定理證明BC∥平面C₁B₁N；
（2）該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，BA，BC，BB₁兩兩垂直． 以B為坐標(biāo)原點，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證出

BN

•

BN1

=0，

BN

•

B1C1

=0后即可證明BN⊥平面C₁B₁N；
（3）設(shè)P（0，0，a）為BC上一點，由MP∥平面CNB₁，得知

MP

⊥

n2

，利用向量數(shù)量積為0求出a的值，并求出

BP

PC

的值．

解答：解：（1）證明：由正視圖與側(cè)視圖可知側(cè)面BCC₁B₁是矩形，所以BC∥_B1C1，又B₁C₁?平面C₁B₁N，BC?平面C₁B₁N，
所以BC∥平面C₁B₁N…（3分）
（2）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．                              …（5分）
以B為坐標(biāo)原點，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

BN1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；   …（7分）
（3）∵M(jìn)（2，0，0）．設(shè)P（0，0，a）為BC上一點，則

MP

=（-2，0，a），
∵M(jìn)P∥平面CNB₁，
∴

MP

⊥

n2

⇒

MP

•

n2

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0⇒a=1．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴當(dāng)PB=1時，MP∥平面CNB₁
∴

BP

PC

=

1

3

…（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系及判斷，線面角求解，利用空間向量的方法，能夠降低思維難度，但要注意有關(guān)的運算要準(zhǔn)確．