Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，側(cè)面AB₁與側(cè)面AC₁所成的二面角為60°，M為AA₁上的點(diǎn)，∠A₁MC₁=30°，∠CMC₁=90°，AB=a．
（1）求BM與側(cè)面AC₁所成角的正切值；
（2）求頂點(diǎn)A到面BMC₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：建立空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，
（1）求出線BM方向向量與面AC₁的法向量．由公式求出線面角的正弦，再求余弦．算出正切即可
（2）求出向量MA的坐標(biāo)，平面MBC₁的法向量，求出向量MA在平面MBC₁的法向量上的投影的長(zhǎng)度，此即頂點(diǎn)A到面BMC₁的距離
解答：解：由題知AC=a，BC=a，A₁M=a，MC₁=a，AM=a，故棱柱的高CC₁=a，
以C₁為原點(diǎn)，C₁A₁所在直線為x軸，C1B1所在直線為y軸建立空間坐標(biāo)系，
則C₁（0，0，0），A₁（a，0，0），B₁（0，a，0），C（0，0，a），
A（a，0，a），B（0，a，a），M（a，0，a）
（1）面AC₁法向量為=（0，a，0），=（a，-a，-a）
故線面角的正弦為sinθ==，cosθ=，tanθ=
故所求線面角的正切為．
（II）由已知=（a，0，a），=（0，a，a）
設(shè)面C₁MB的法向量為=（x，y，z）
則∴即
令x=1，則z=-，y=-z=
故=（1，-，）
又=（0，，0），
故點(diǎn)A到面C₁MB的距離為d===a．
即A到面C₁MB的距離為a．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是立體幾何中求線面角及求點(diǎn)到面的距離，由于本題第二問(wèn)用傳統(tǒng)的幾何方法不易求得三角形的面積，故不方便用等體積法求點(diǎn)到面的距離，有鑒于此，雖然第一問(wèn)用立體幾何方法求線面角正切易求，但因?yàn)榈诙��?wèn)必須建立空間坐標(biāo)系，所以第一問(wèn)也采用了空間向量方法求線面角的正弦；在第二問(wèn)中，求點(diǎn)到面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求點(diǎn)與面上一點(diǎn)所連線段對(duì)應(yīng)的向量在面的法向量上的投影長(zhǎng)度的問(wèn)題，可以看到，此法易想，思路固定，大大降低了解決立體幾何問(wèn)題時(shí)思維的難度．