Question

11．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與圓C₂：x²+y²=b²，若在橢圓C₁上存在點(diǎn)P，過P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B使得∠BPA=$\frac{π}{3}$，則橢圓C₁的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 利用O、P、A、B四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及橢圓離心率的概念，綜合分析即可求得橢圓C的離心率的取值范圍．

解答 解：連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點(diǎn)共圓，
∵∠BPA=$\frac{π}{3}$，∠APO=∠BPO=$\frac{π}{6}$，
在直角三角形OAP中，∠AOP=$\frac{π}{3}$，
∴cos∠AOP=$\frac{|OP|}$=$\frac{1}{2}$，得|OP|=$\frac{\frac{1}{2}}$=2b，
∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，
∴4b²≤a²，即4（a²-c²）≤a²，
∴3a²≤4c²，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{3}{4}$，
∴e$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1，
∴橢圓C的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率，考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的概念，考查轉(zhuǎn)化與方程思想，屬于難題．