Question

如圖，多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD，CDEF都是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AG⊥平面ABCD，且AG=1．
（Ⅰ）若P是BC的中點，證明AP∥平面BFG；
（Ⅱ）求四面體ABEG的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取BF中點Q，連PQ、GQ，則PQ∥CF，且PQ=

1

2

CF=AG=1，證明AP∥平面BFG，只需證明AP∥GQ；
（Ⅱ）證明DE⊥平面ABCD，即可求四面體ABEG的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取BF中點Q，連PQ、GQ，則PQ∥CF，且PQ=

1

2

CF=AG=1，
∵CDEF是正方形，DE⊥平面ABCD，
∴CF⊥平面ABCD，
∴PQ⊥平面ABCD，
又AG⊥平面ABCD，
∴PQ∥AG，APQG為矩形，
∴AP∥GQ
∵QG?平面BFG，AP?平面BFG，
∴AP∥平面BFG…6分
（Ⅱ）解：∵AG⊥平面ABCD，∴AG⊥AD，
又ABCD是矩形，∴AB⊥AD
從而AD⊥平面ABG
又DE⊥平面ABCD，∴AG∥DE
∴VABEG=VE-ABG=VD-ABG=

1

3

×

1

2

×AB×AG×AD=

2

3

…12分．

點評：本題綜合考查空間線、面的位置關系，體積的計算，中等題．