Question

已知n條直線l₁：x-y+C₁=0，C₁=

2

，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），這n條平行直線中，每相鄰兩條直線之間的距離順次為2、3、4、…、n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0與x軸、y軸圍成的圖形的面積；
（3）求x-y+C_n-1=0與x-y+C_n=0及x軸、y軸圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）易知直線在y軸上的截距是原點(diǎn)到直線的距離

2

倍，所以先求原點(diǎn)到直線的距離即可；
（2）在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)，由三角形面積公式結(jié)合（1）求得；
（3）由（2）分別求得兩條直線與x軸和y軸圍成的面積作差求解．

解答：解：（1）原點(diǎn)O到l₁的距離為1，原點(diǎn)O到l₂的距離為1+2，原點(diǎn)O到l_n的距離d_n為1+2++n=

n(n+1)

2

．
∵C_n=

2

d_n，
∴C_n=

2 n(n+1)

2

．
（2）設(shè)直線l_n：x-y+C_n=0交x軸于M，交y軸于N，則△OMN面積
S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

C_n²=

n2(n+1)2

4

．
（3）所圍成的圖形是等腰梯形，由（2）知S_n=

n2(n+1)2

4

，則有S_n-1=

(n-1)2•n2

4

．
∴S_n-S_n-1=

n2(n+1)2

4

-

(n-1)2•n2

4

=n³．
∴所求面積為n³．

點(diǎn)評(píng)：本題主要通過直線的斜率和截距，來考查直線圍成平面圖形問題的解法．