【題目】已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y恒有f(x)=f(y)+f(x﹣y),當x>0時,f(x)<0,且f(2)=﹣3.
(1)求f(0),并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)證明:函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)遞減;
(3)若不等式f(2x﹣3)﹣f(﹣22x)<f(k2x)+6在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0

令x=0,可得f(0)=f(y)+f(﹣y),即f(﹣y)=﹣f(y)

故f(x)為奇函數(shù)


(2)證明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,

則f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1

∵x1<x2,∴x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)<0

∴f(x2)﹣f(x1)<0,f(x2)<f(x1),

故函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)


(3)解:∵f(2)=﹣3,

∴f(4)=f(2)+f(2)=﹣6,

∵不等式f(2x﹣3)﹣f(﹣22x)<f(k2x)+6在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立

∴f(2x﹣3+22x)<f(k2x﹣4)在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立.

∵函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),

∴2x﹣3+22x>k2x﹣4在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立

∴k<2x+2x+1在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立,

∵x∈(﹣2,2),∴2x+2x∈[2, ),

∴k<2


【解析】(1)分別取x=y=0,和x=0可得f(0)=0,進而可得f(﹣y)=﹣f(y),可判f(x)為奇函數(shù);(2)任取x1 , x2∈R,且x1<x2 , 可得f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1),結(jié)合已知可判f(x2)﹣f(x1)<0,可得單調(diào)性;(3)由已知式子可得f(4)=﹣6,不等式f(2x﹣3)﹣f(﹣22x)<f(k2x)+6在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立轉(zhuǎn)化為k<2x+2x+1在區(qū)間(﹣2,2)內(nèi)恒成立,即可求實數(shù)k的取值范圍..

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D.f(sinα)<f(sinβ)

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(1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在網(wǎng)格紙中繪制散點圖;

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程,并估計當時, 的值;

(3)將表格中的數(shù)據(jù)看作五個點的坐標,則從這五個點中隨機抽取2個點,求這兩個點都在直線的右下方的概率.

參考公式: , .

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