Question

（1）在極坐標(biāo)系中，若過點（1，0）且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cosθ于A、B兩點，則|AB|=______
（2）已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有實數(shù)解，則a的取值范圍為______．

Answer 1

解：（1）過點（1，0）且與極軸垂直的直線方程為 x=1，曲線ρ=4cosθ 即 ρ²=4ρcosθ，
即 x²+y²=4x，（x-2）²+y²=4．  把 x=1 代入  （x-2）²+y²=4  可得
y=±，故|AB|=±2，
故答案為：±2．
（2）分離出參數(shù)a+1，
a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，
∵sinx|≤1，
∴a+1=|2^x-1|-|2^x+1|的最小值為：-2，最大值為0，
∴-3≤a≤-1．
則a的取值范圍為[-3，-1）
故答案為：[-3，-1）．
分析：（1）先求出直線方程，把曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，把 x=1 代入  （x-2）²+y²=4  可得 y=±，故|AB|=±2．
（2）由已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有解，分離出參數(shù)a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．
點評：（1）本小題考查求直線的極坐標(biāo)方程，把極坐標(biāo)方程化為普通方程的方法，以及求直線被圓截得的弦長．
（2）通過構(gòu)造函數(shù)，從而借助于函數(shù)的圖象研究了一元二次函數(shù)值域的問題，將復(fù)雜問題簡單化．整個解題過程充滿對函數(shù)、方程和不等式的研究和轉(zhuǎn)化，也充滿了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．