Question

15．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+2x
①若g（x）在（-2，-1）內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②若g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 ①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤x+$\frac{2}{x}$在（-2，-1）內(nèi)恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求出a的范圍即可；
②令f（x）=x²-ax+2，由題意得到f（x）在（-2，-1）有零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：g′（x）=x²-ax+2，
①若g（x）在（-2，-1）內(nèi)為減函數(shù)，
則x²-ax+2≤0在（-2，-1）內(nèi)恒成立，
即a≤x+$\frac{2}{x}$在（-2，-1）內(nèi)恒成立，
令h（x）=x+$\frac{2}{x}$，h′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：-2＜x＜-$\sqrt{2}$，
令h′（x）＜0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜-1，
∴h（x）在（-2，-$\sqrt{2}$）遞增，在（-$\sqrt{2}$，-1）遞減，
∴h（x）_min=h（-2）或h（-1），
而h（-2）=h（-1）=-3，
故a≤-3；
②令f（x）=x²-ax+2，
若g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)不單調(diào)，
則f（x）在（-2，-1）有相異零點(diǎn)，
∴△=a²-8＞0，解得：a＞2$\sqrt{2}$或a＜-2$\sqrt{2}$，
設(shè)它的兩個(gè)零點(diǎn)分別為 x₁，x₂，則x₁•x₂=2＞0，
兩根同號，由題意兩根均為負(fù)數(shù)，
∴x₁+x₂=a＜0，∴a＜-2$\sqrt{2}$，
而f（-2）f（-1）=2（a+3）²＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（-1）＞0}\\{-2＜\frac{a}{2}＜-1}\end{array}\right.$，
解得：-3＜a＜-2，
綜上，-3＜a＜-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及基本不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．