Question

設(shè)a∈R，函數(shù)y=lg（ax²-2x-2a）的定義域?yàn)锳，不等式x²-4x+3＜0的解集為B，若A∩B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=ax²-2x-2a，求出不等式x²-4x+3＜0的解集B；
討論（1）a=0時(shí)，f（x）＞0的解集為A，A∩B的情況；
（2）a＞0時(shí)，f（x）＞0的解集A與A∩B≠ϕ的條件，求出a的取值范圍；
（3）a＜0時(shí)，f（x）＞0的解集A與A∩B≠φ的條件，求出a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)f（x）=ax²-2x-2a，
∵不等式x²-4x+3＜0的解集B={x|1＜x＜3}=（1，3）；
∴（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x＞0的解集為A=（-∞，0），故A∩B=ϕ；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，∵f（0）=-2a＜0，此時(shí)拋物線開口向上，∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)且分別在y軸的兩側(cè)，
此時(shí)若要使A∩B≠ϕ，只需f（3）=9a-6-2a＞0即可，解之得，a＞

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；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，∵f（0）=-2a＞0，此時(shí)拋物線開口向下，∴函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)也分別在y軸的兩側(cè)，
要使A∩B≠φ，只需f（1）=a-2-2a＞0即可，解之得，a＜-2．
綜上，a的取值范圍是(-∞，-2)∪(

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，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求一元二次不等式的解集的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)字母進(jìn)行討論，是綜合題目．