Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，g（x）=-$\frac{1}{2}$a（x²-x-2），其中a∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x＞0，不等式f（x+1）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I） 求出f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，（x＞0，且x≠1），設μ（x）=x-lnx-1，則${μ}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，由此利用導數(shù)性質能求出f（x）單調區(qū)間．
（Ⅱ）由已知$φ（x）=ln（{x+1}）+\frac{1}{2}a{x^2}-ax＞0$對x＞0恒成立，$φ'（x）=\frac{1}{x+1}+ax-a=\frac{{a{x^2}+1-a}}{x+1}$，由此利用分類討論思想能求出a的取值范圍．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，（x＞0，且x≠1），
設μ（x）=x-lnx-1，則${μ}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
x∈（0，1）時，μ′（x）＜0；x∈（1，+∞）時，μ′（x）＜0，
∴u（x）在（0，1）上單減，在（1，+∞）上單增，
∴u（x）≥u（1）=0，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1），（1，+∞），無單調減區(qū)間．（5分）
（Ⅱ）∵?x＞0，f（x+1）＞g（x）成立，
即$φ（x）=ln（{x+1}）+\frac{1}{2}a{x^2}-ax＞0$對x＞0恒成立，
$φ'（x）=\frac{1}{x+1}+ax-a=\frac{{a{x^2}+1-a}}{x+1}$，（6分）
①當0≤a≤1時，φ'（x）≥0，則φ（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴φ（x）＞φ（0）=0，滿足題意．（8分）
②當a＞1時，令φ'（x）＜0，則$0＜x＜\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
∴φ（x）在$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$上單調遞減，∴x∈$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$時，∴φ（x）＜φ（0）=0，不滿足題意．（10分）
③當a＜0時，令φ'（x）＞0，則$0＜x＜\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
∴φ（x）在$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$上單調遞增，在$（\sqrt{\frac{a-1}{a}}，+∞）$上單調遞減．（11分）
取${x_0}=2（1-\frac{1}{a}）∈（\sqrt{\frac{a-1}{a}}，+∞）$時，
當x＞0時，ln（x+1）＜x，
$φ（{x_0}）=ln（{{x_0}+1}）+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}＜{x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}$，
∴$φ（{x_0}）＜\frac{1}{2}a{x_0}^2+（1-a）{x_0}=\frac{1}{2}a{x_0}[{x_0}-\frac{2（a-1）}{a}]=0$，不滿足題意．
綜上所述：a的取值范圍[0，1]．（14分）
說明：∵$φ（{x_0}）=ln（{{x_0}+1}）+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}＜{x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}$
在x→+∞時，${x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}→-∞$，不合題意，學生這樣做也可給滿分．

點評 本題考查函數(shù)的單調區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質、分類討論思想和構造法的合理運用．