Question

已知函數(shù)f(x)＝lg|x|，

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像草圖；

(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)要使函數(shù)有意義，x的取值需滿足|x|＞0，解得x≠0，即函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 　　f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)， 　　∴f(－x)＝f(x)． 　　∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)． 　　(2)由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，將函數(shù)y＝lgx的圖像對(duì)稱到y(tǒng)軸的左側(cè)與函數(shù)y＝lgx的圖像合起來(lái)得函數(shù)f(x)的圖像，如下圖所示． 　　(3)方法一：由上圖得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)． 　　證明：設(shè)x1、x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 　　則f(x1)－f(x2)＝lg|x1|－lg|x2|＝lg＝lg， 　　∵x1、x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 　　∴|x1|＞|x2|＞0．∴＞1．∴l(xiāng)g＞0． 　　∴f(x1)＞f(x2)． 　　∴函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)， 　　即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)． 　　方法二：函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．設(shè)y＝lgu，u＝|x|． 　　當(dāng)函數(shù)f(x)是減函數(shù)時(shí)，由于函數(shù)y＝lgu是增函數(shù)， 　　則函數(shù)u＝|x|是減函數(shù)． 　　又函數(shù)u＝|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0]， 　　∴函數(shù)f(x)＝lg|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)．

提示：

思路分析：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)．(1)確定函數(shù)的定義域，判斷f(x)和f(－x)的關(guān)系；(2)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，利用變換作圖畫出草圖；(3)由圖像觀察出單調(diào)遞增區(qū)間，再用定義證明． 　　綠色通道：作形如函數(shù)y＝loga|x＋b|(a＞0，a≠1)的圖像，通常利用平移變換畫出圖像，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝loga|x＋b|的單調(diào)遞增區(qū)間是(－b，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－b)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝loga|x＋b|的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－b)．單調(diào)遞減區(qū)間是(－b，＋∞)．判斷有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性．結(jié)合函數(shù)的定義域和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，通常利用定義法判斷函數(shù)奇偶性．由對(duì)數(shù)函數(shù)和其他簡(jiǎn)單初等函數(shù)復(fù)合而成的簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)，在討論其單調(diào)性時(shí)，先求定義域，利用圖像觀察出單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明，或利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性口訣：“同增異減”直接得到．