Question

已知函數(shù)（a，b，c∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為，且a＞2c＞b．
（1）證明：．
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個極值點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)+cx（a，b，c∈R）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到a，b，c的一個方程，由a＞2c＞b，根據(jù)不等式的性質(zhì)尋求關(guān)于a，b的不等式；
（2）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)的零點(diǎn)情況，可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵∴3a+2b+2c=0①
又∵a＞2c＞b，∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a
結(jié)合①得a＞0
由①得2c=-3a-2b，∵a＞2c＞b，∴a＞-3a-2b＞b，
∵a＞0∴∴
（Ⅱ）由①得∴f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，
（1）當(dāng)c≤0時，∵a＞0，∴且f'（2）=a-c＞0，∴f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個極值點(diǎn)．
（2）當(dāng)c＞0，∵a＞0，∴f'（0）=c＞0且，∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個極值點(diǎn)．
綜合1°和2°得，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個極值點(diǎn)．
點(diǎn)評：考查不等式的基本性質(zhì)，由一個等式和一個不等式，探討成立，難度較大，有效的考查靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．