設AB是橢圓Γ的長軸，點C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，則Γ的兩個焦點之間的距離為    ．
【答案】分析：由題意畫出圖形，設橢圓的標準方程為，由條件結合等腰直角三角形的邊角關系解出C的坐標，再根據(jù)點C在橢圓上求得b值，最后利用橢圓的幾何性質計算可得答案．
解答：解：如圖，設橢圓的標準方程為，
由題意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=，BC=，∴點C的坐標為C（-1，1），
因點C在橢圓上，∴，
∴b2=，
∴c2=a2-b2=4-=，c=，
則Γ的兩個焦點之間的距離為 ．
故答案為：．
點評：本題考查橢圓的定義、解三角形，以及橢圓的簡單性質的應用．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=1與x軸正半軸的交點為F，AB為該圓的一條弦，直線AB的方程為x=m．記以AB為直徑的圓為⊙C，記以點F為右焦點、短半軸長為b（b＞0，b為常數(shù)）的橢圓為D．
（1）求⊙C和橢圓D的標準方程；
（2）當b=1時，求證：橢圓D上任意一點都不在⊙C的內部；
（3）已知點M是橢圓D的長軸上異于頂點的任意一點，過點M且與x軸不垂直的直線交橢圓D于P、Q兩點（點P在x軸上方），點P關于x軸的對稱點為N，設直線QN交x軸于點L，試判斷
OM
•
OL
是否為定值？并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇期末題 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=1與x軸正半軸的交點為F，AB為該圓的一條弦，直線AB的方程為x=m．記以AB為直徑的圓為⊙C，記以點F為右焦點、短半軸長為b（b＞0，b為常數(shù)）的橢圓為D．
（1）求⊙C和橢圓D的標準方程；
（2）當b=1時，求證：橢圓D上任意一點都不在⊙C的內部；
（3）已知點M是橢圓D的長軸上異于頂點的任意一點，過點M且與x軸不垂直的直線交橢圓D于P、Q兩點（點P在x軸上方），點P關于x軸的對稱點為N，設直線QN交x軸于點L，試判斷是否為定值？并證明你的結論．

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（1）求⊙C和橢圓D的標準方程；
（2）當b=1時，求證：橢圓D上任意一點都不在⊙C的內部；
（3）已知點M是橢圓D的長軸上異于頂點的任意一點，過點M且與x軸不垂直的直線交橢圓D于P、Q兩點（點P在x軸上方），點P關于x軸的對稱點為N，設直線QN交x軸于點L，試判斷是否為定值？并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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A．15           B．16           C．18           D．20

 

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