Question

如圖，點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是橢圓C：（a＞b＞0）的左右焦點，經(jīng)過F₁做x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F₂作直線PF₂垂線交直線于點Q．
（Ⅰ）如果點Q的坐標是（4，4），求此時橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將點P（-c，y₁）（y₁＞0）代入，可求得P，根據(jù)點Q的坐標是（4，4），PF₁⊥QF₂，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用PF₁⊥QF₂，求得，從而可求，又，求導函數(shù)，可得x=-c時，y′==，故可知直線PQ與橢圓C只有一個交點．
解答：（Ⅰ）解：將點P（-c，y₁）（y₁＞0）代入得
∴P
∵點Q的坐標是（4，4），PF₂⊥QF₂
∴
∵
∴a=2，c=1，b=
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）證明：設(shè)Q，∵PF₂⊥QF₂
∴
∴y₂=2a
∴
∵P，∴
∵，∴
∴y′=
∴當x=-c時，y′==
∴直線PQ與橢圓C只有一個交點．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查導數(shù)知識的運用，綜合性強．