Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足

.

an -1

Sn 1 .

=1（n為正整數(shù)）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記S=a₁+a₂+…+a_n+…．試比較S與（n+1）a_n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由二階矩陣知a_n+S_n=1，則當(dāng)n≥2時，a_n-1+S_n-1=1，以上兩式相減得到a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，得出數(shù)列{a_n}是公比為

1

2

等比數(shù)列，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（2）結(jié)論：S≥（n+1）a_n．設(shè)f(n)=

n+1

2n

，則f(n+1)=

n+2

2n+1

，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義得出函數(shù)f（n）在n∈N^*上單調(diào)遞減，即可證出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意得a_n+S_n=1，從而a_n-1+S_n-1=1
以上兩式相減得到a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，即a_n-a_n-1+a_n=0，…3分
所以

an

an-1

=

1

2

，數(shù)列{a_n}是公比為

1

2

等比數(shù)列，又a₁+S₁=1，a1=

1

2

，
所以an=

1

2

(

1

2

)n-1=(

1

2

)n…6分
（2）S=

1 2

1- 1 2

=1，(n+1)an=

n+1

2n

，…8分
設(shè)f(n)=

n+1

2n

，則f(n+1)=

n+2

2n+1

，f(n+1)-f(n)=

n+2

2n+1

-

n+1

2n

=-

n

2n+1

＜0
所以，函數(shù)f（n）在n∈N^*上單調(diào)遞減，所以f（n）的最大值是f（1）=1，
所以S≥（n+1）a_n…12分．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明和求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和比較法的合理運用．