Question

已知a₂₀₁₀與a₂₀₁₁是首項為正數的等差數列{a_n}相鄰的兩項，且函數y=（x-a₂₀₁₀）（x-a₂₀₁₁）的圖象如圖所示，則使前n項和S_n＞0成立的最大自然數n是（ ）

A．4017
B．4018
C．4019
D．4020

Answer 1

【答案】分析：由題意利用等差數列的性質可得a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，推出 S₄₀₁₉＞0，S₄₀₂₁＜0，再根據圖象得a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，可得S₄₀₂₀＜0．從而可得答案．
解答：解：由題意可得：a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，
又S₄₀₁₉===4019×a₂₀₁₀＞0，
根據函數圖象的對稱軸為x=＜0得：a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，
∴S₄₀₂₀＜0．
綜上所述，使前n項和S_n＞0成立的最大自然數n是4019．
故選C．
點評：考查等差數列的性質的應用，判斷a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，是解題的關鍵，屬于難題．