Question

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：①方程f（x）-x=0有實根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（1）若函數f（x）為集合M中的任意一個元素，證明：方程f（x）-x=0只有一個實根；
（2）判斷函數g（x）=是否是集合M中的元素，并說明理由；
（3）設函數f（x）為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意α，β，證明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

Answer 1

證明：：（1）令h（x）=f（x）-x，則h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是單調遞減函數，
所以，方程h（x）=0，即f（x）-x=0至多有一解，
又由題設①知方程f（x）-x=0有實數根，
所以，方程f（x）-x=0有且只有一個實數根
（2）易知，g′（x）=-，則0＜g′（x）＜1，滿足條件②；
令F（x）=g（x）-x=，
則F（e）==＞0，F（e²）=＜0，
又F（x）在區(qū)間[e，e²]上連續(xù)，所以F（x）在[e，e²]上存在零點x₀，
即方程g（x）-x有實數根x₀∈[e，e²]，故g（x）滿足條件①，
綜上可知，g（x）∈M
（Ⅲ）不妨設α≤β，∵f′（x）＞0，∴f（x）單調遞增，
∴f（α）≤f（β），即f（β）-f（α）≥0，
令h（x）=f（x）-x，則h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是單調遞減函數，
∴f（β）-β≤f（α）-α，即f（β）-f（α）≤β-α，
∴0≤f（β）-f（α）≤β-α，
則有|f（α）-f（β）|≤|α-β|．
分析：（1）構造函數h（x）=f（x）-x，由已知可判斷h（x）是單調遞減函數，由單調函數至多有一個零點，及方程f（x）-x=0有實根，可證得答案；
（2）結合函數g（x）=，分析條件：①方程g（x）-x=0有實根；②函數g（x）的導數g′（x）滿足0＜g′（x）＜1．兩個條件是否滿足，可得結論；
（3）不妨設α≤β，由（1）證得函數的單調性，易證明0≤f（β）-f（α）≤β-α，進而根據絕對值的定義得到結論．
點評：本題是函數與方程的綜合應用，是函數零點與方程根關系的綜合應用，其中利用導數法分析函數的單調性，進而判斷函數零點的個數及對應方程根的個數難度較大．