【答案】
分析:(1)由已知中O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量
=(sinα,1),
=(cosα,0),
=(-sinα,2),點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn),且點(diǎn)B分有向線段
的比為1,我們代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)函數(shù)f(α)=
•
,求出函數(shù)的解析式,利用除冪公式,及輔助解公式,將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式后,結(jié)合α∈(-
,
)及正弦函數(shù)的性質(zhì),我們即可求出函數(shù)f(α)的單調(diào)性,并求其值域;
(2)若O,P,C三點(diǎn)共線,我們向量共線的充要條件,求出tanα的值,結(jié)合|
+
|=
=
,利用萬能公式,代入即可求出|
+
|的值.
解答:解:依題意知:A(sinα,1),B(cosα,0),C(-sinα,2),
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
∵點(diǎn)B分有向線段
的比為1
∴cosα=
,0=
,
∴x=2cosα-sinα,y=-1,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosα-sinα,-1)(2分)
(1)∵
=(sinα-cosα,1),
=(2sinα,-1)
∴f(α)=
•
=2sin
2α-2sinαcosα-1=-(sin2α+cos2α)=-
sin(2α+
),(4分)
由2α+
∈(0,
)可知函數(shù)f(α)的單調(diào)遞增區(qū)間為(
,
),單調(diào)遞減區(qū)間為(-
,
),(6分)
所以sin(2α+
)∈(-
,1],其值域?yàn)閇-
,1);(8分)
(2)由O,P,C三點(diǎn)共線的-1×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),
∴tanα=
,(10分)
∴sin2α=
=
=
,
∴|
+
|=
=
=
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的單調(diào)性,兩角和與差的正弦,二倍角的正弦,二倍角的余弦,三點(diǎn)共線,定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,其中(1)的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)f(α)=
•
的解析式,并化簡為正弦型函數(shù)的形式,將問題轉(zhuǎn)化為確定正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域,(2)的關(guān)鍵是根據(jù)向量共線的充要條件,求出tanα的值.