Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B分有向線段的比為1．
（1）記函數(shù)f（α）=•，α∈（-，），討論函數(shù)f（α）的單調(diào)性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點(diǎn)共線，求|+|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B分有向線段的比為1，我們代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)f（α）=•，求出函數(shù)的解析式，利用除冪公式，及輔助解公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式后，結(jié)合α∈（-，）及正弦函數(shù)的性質(zhì)，我們即可求出函數(shù)f（α）的單調(diào)性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點(diǎn)共線，我們向量共線的充要條件，求出tanα的值，結(jié)合|+|==，利用萬能公式，代入即可求出|+|的值．
解答：解：依題意知：A（sinα，1），B（cosα，0），C（-sinα，2），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)B分有向線段的比為1
∴cosα=，0=，
∴x=2cosα-sinα，y=-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα-sinα，-1）（2分）
（1）∵=（sinα-cosα，1），=（2sinα，-1）
∴f（α）=•=2sin²α-2sinαcosα-1=-（sin2α+cos2α）=-sin（2α+），（4分）
由2α+∈（0，）可知函數(shù)f（α）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，），單調(diào)遞減區(qū)間為（-，），（6分）
 所以sin（2α+）∈（-，1]，其值域?yàn)閇-，1）；（8分）
（2）由O，P，C三點(diǎn)共線的-1×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴tanα=，（10分）
∴sin2α===，
∴|+|===（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的單調(diào)性，兩角和與差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三點(diǎn)共線，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)f（α）=•的解析式，并化簡為正弦型函數(shù)的形式，將問題轉(zhuǎn)化為確定正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)向量共線的充要條件，求出tanα的值．