【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且以2為周期,則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的(
A.既不充分也不必要的條件
B.充分而不必要的條件
C.必要而不充分的條件
D.充要條件

【答案】D
【解析】解:∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴若f(x)為[0,1]上的增函數(shù),則f(x)為[﹣1,0]上是減函數(shù),
又∵f(x)是定義在R上的以2為周期的函數(shù),且[3,4]與[﹣1,0]相差兩個周期,
∴兩區(qū)間上的單調(diào)性一致,所以可以得出f(x)為[3,4]上的減函數(shù),故充分性成立.
若f(x)為[3,4]上的減函數(shù),同樣由函數(shù)周期性可得出f(x)為[﹣1,0]上是減函數(shù),再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f(x)為[0,1]上的增函數(shù),故必要性成立.
綜上,“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件.
故選D.
【考點(diǎn)精析】掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本,需要知道奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

練習(xí)冊系列答案
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