Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2（a∈R）．
（1）若a=1時，求函數(shù)f（x）在x∈[-1，2]上的最大值；
（2）當(dāng)x∈[-1，+∞）時，f（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的對稱軸，與區(qū)間的端點比較，可得f（-1）取得最大值；
（2）求出二次函數(shù)的對稱軸，討論當(dāng)a≤-1時，當(dāng)a＞-1時，運用單調(diào)性，可得最小值，由題意可得f（x）_min≥a，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）若a=1，則f（x）=x²-2x+2，
對稱軸為x=1，x∈[-1，2]，
由1與-1的距離比1與2的距離大，
則當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）的最大值為5；
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+2（a∈R），
對稱軸為x=a，x∈[-1，+∞），
當(dāng)a≤-1時，f（x）在[-1，+∞）遞增，
可得f（x）的最小值為f（-1）=3+2a；
由3+2a≥a，解得a≥-3，
則-3≤a≤-1；
當(dāng)a＞-1時，f（x）的最小值為f（a）=2-a²，
2-a²≥a，解得-2≤a≤1，
即為-1＜a≤1，
綜上可得-3≤a≤1．

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值解法，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論思想方法，以及函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．