Question

如圖，圓x²+y²=4與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的投影是D，點(diǎn)M滿足

DM

=

1

2

DP

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形．
（2）過(guò)點(diǎn)B的直線l與M點(diǎn)的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F，若

BF

=2

BE

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的投影是D，點(diǎn)M滿足

DM

=

1

2

DP

．可得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用P在圓x²+y²=4上，即可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，從而可得所求軌跡；
（2）由

BF

=2

BE

知E是BF中點(diǎn)，由此可得E，F(xiàn)的坐標(biāo)表示，代入橢圓方程，可求得E，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），則題意DP⊥x軸且M是DP的中點(diǎn)，
所以

x0=x y0=2y

（2分）
又P在圓x²+y²=4上，所以x₀²+y₀²=4，即x²+（2y）²=4，即

x2

4

+y2=1（4分）
軌跡是以(

3

，0)與(-

3

，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．（6分）
注：只說(shuō)軌跡是橢圓扣（1分）．
（2）設(shè)E（x₀，y₀），由

BF

=2

BE

知E是BF中點(diǎn)，又B（0，2），所以F（2x₀，2y₀-2），因E，F(xiàn)都在橢圓x²+4y²=4上，所以

x02+4y02=4 x02+4(y0-1)2=1

（9分）
解得：x0=±

15

4

，y0=

7

8

（11分）
若E(±

15

4

，

7

8

)，則k=

y0-2

x0

=±

3 15

10

（13分）
所以直線l方程為：y=±

3 15

10

x+2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合，主要考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓相交，關(guān)鍵是將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，從而得解．