Question

(1)證明

(2)若x、y、z∈(0,1),求證:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1.

Answer 1

解析:(1)由于待定的不等式可整理為關于變量x的二次方程的形式,可用判別式證明.?

(2)由于待定的不等式關于x最高次數為一次,可整理成關于x的一次函數,由一次函數的單調性進行證明.

證明:(1)設則(y-1)x²+(3y+3)x+4y-4=0.

①當y-1≠0時,則x∈R,Δ≥0,?

即(3y+3)²-4(y-1)(4y-4)≥0.?

解得≤y≤7(y≠1).?

②當y-1=0時,x=0∈R.?

綜上,≤y≤7.∴

(2)構造函數:?

f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)-1=(1-y-z)x+y(1-z)+z-1(0＜x＜1),

①當1-y-z=0,即y+z=1時,f(x)=y(1-z)+z-1=y+z-yz-1=-yz＜0;?

②當1-y-z≠0時,f(x)為一次函數,由一次函數的單調性,只要證明f(0)＜0,f(1)＜0,?

∵f(0)=y-yz+z-1=(y-1)(1-z)＜0,f(1)=-yz＜0,

∴對任意x∈(0,1)都有f(x)＜0,?

即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1.