Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線與其交于M、N兩點(diǎn)，作平行四邊形MONP，則P點(diǎn)的軌跡方程為（　�。�

• A、y²=4（x-2）
• B、y²=-4（x+2）
• C、y²=4（x+2）
• D、y²=x-1

Answer 1

分析：先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法將MN所在的直線方程設(shè)出來(lái)，得到其參數(shù)方程，與拋物線方程聯(lián)立得到M，N的橫縱坐標(biāo)所滿足的參數(shù)方程x₁+x₂=

2k2+4

k2

，y₁+y₂=

4

k

，再利用平行四邊形對(duì)角線交于中點(diǎn)的性質(zhì)，求出點(diǎn)P（x，y），的參數(shù)方程，消參數(shù)后即可得到點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)所滿足的方程，

解答：解：由已知拋物線y²=4x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵平行四邊形MONP，
∴可設(shè)線段MN與線段OP的交點(diǎn)為H（x₀，y₀），P（x，y），
由平行四邊形的性質(zhì)，H是OP的中點(diǎn)，
∴x₀=

1

2

x，y₀=

1

2

y     ①
當(dāng)直線MN的方程為x=1時(shí)，中點(diǎn)就是F，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線MN的方程可設(shè)為y=k（x-1）
由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-2k²x+k²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵M(jìn)（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
故y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×

2k2+4

k2

）-2k=

4

k

M，N的中點(diǎn)為H，故有x₀=

k2+2

k2

，y₀=

2

k

又由①，可得x=

2k2+4

k2

=2+

4

k2

，y=

4

k

兩式聯(lián)立消去k得x=2+

y2

4

，整理得y²=4（x-2），驗(yàn)證知（2，0）在y²=4（x-2）上，
故應(yīng)選A．

點(diǎn)評(píng)：本題是解析幾何中一道較繁瑣的題，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，設(shè)參，消參的相關(guān)技巧，綜合性較強(qiáng)．對(duì)符號(hào)運(yùn)算能力要求較高．