【題目】已知橢圓 ,其左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,點R的坐標為 ,又點F2在線段RF1的中垂線上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的左、右頂點分別為A1 , A2 , 點P在直線 上(點P不在x軸上),直線PA1 , PA2與橢圓C分別交于不同的兩點M,N,線段MN的中點為Q,若|MN|=λ|A1Q|,求λ.

【答案】
(1)

解:∵e= ,∴

∵F2(c,0)在PF1的中垂線上,

∴|F1F2|=|RF2|,(2c)2= 2+(2 ﹣c)2,解得c=2,∴a2=3,b2=1.

∴橢圓C的方程為 +y2=1.


(2)

解:證明:由(Ⅰ)知A1(﹣ ,0),A2 ,0),

設PA1的方程為y=k(x+ )(k≠0),則P坐標(﹣2 ,﹣ k),

∴k = ,∴PA2方程為y= (x﹣ ),

聯(lián)立方程組 ,消元得(3+k2)x2﹣2 k2x+3k2﹣9=0,

解得N( ,﹣ ),

∴k =﹣ ,∴A1M⊥A1N,

∴三角形MNA1為直角三角形,又Q為斜邊中點,

∴|MN|=2|A1Q|,即λ=2.


【解析】(1)根據(jù)|F1F2|=|RF2|列方程解出c,從而得出a,b求出橢圓方程;(2)設PA1的方程為y=k(x+ )(k≠0),求出PA2方程,與橢圓方程聯(lián)立求出N點坐標,通過計算斜率可得A1N⊥A1M,從而得出|MN|=2|A1Q|.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點,需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.

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分組(歲)

頻數(shù)

[25,30)

x

[30,35)

y

[35,40)

35

[40,45)

30

[45,50]

10

合計

100

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日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

頻數(shù)

10

20

16

16

15

13

10

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