Question

設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線(xiàn)l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)。
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線(xiàn)l，使得，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。
（3）若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：為定值。

Answer 1

解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為
∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合
∴橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，
即
∵，
∴a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）解：由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線(xiàn)l與橢圓必相交
①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，M（1，），N（1，-），
∴，不合題意；
②設(shè)存在直線(xiàn)l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
，，

=
所以，
故直線(xiàn)l的方程為或；
（3）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=
=
由消去y，
并整理得：，
|AB|=，
∴為定值 。