設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn),直線l為其左準(zhǔn)線,直線l與x軸交于點(diǎn)P,線段MN為橢圓的長(zhǎng)軸,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點(diǎn)P的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A、B求證:∠AFM=∠BFN.
【答案】分析:(1)欲求橢圓方程,只需求出a,b的值即可,根據(jù)|MN|=8,且|PM|=2|MF|可得a,c的值,再利用橢圓中,a,b,c的關(guān)系就可求出b值.
(2)欲證∠AFM=∠BFN,只需證明直線AF與BF傾斜角互補(bǔ),即斜率互為負(fù)倒數(shù)即可,當(dāng)AB斜率為0時(shí),顯然直線AF與BF傾斜角互補(bǔ),當(dāng)AB斜率不為0時(shí),設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,求出x1+x2,x1x2,設(shè)出A,B點(diǎn)坐標(biāo),把直線AF,BF的斜率用A,B點(diǎn)坐標(biāo)表示,再根據(jù)前面求出的x1+x2,x1x2,化簡(jiǎn),即可判斷.
解答:解(1)∵|MN|=8∴a=4
,∴
化簡(jiǎn)得,a2-3ac+2c2=0,兩邊同除a2,得,

又∵a=4,∴c=2,

(2)當(dāng)AB的斜率為0時(shí),顯然∠AFM=∠BFN=0.滿足題意
當(dāng)AB的斜率不為0時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB方程為x=my-8,
代入橢圓方程,整理得(3m2+4)y2-48my+144=0

=
∴kAF+kBF=0,從而∠AFM=∠BFN.
綜上可知:恒有∠AFM=∠BFN.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷,做題時(shí)注意應(yīng)用韋達(dá)定理.
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把橢圓
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25
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(13分)如圖,設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn),直線l為其左準(zhǔn)線,直線l與x軸交于點(diǎn)P,線段MN為橢圓的長(zhǎng)軸,已知

   (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

   (2)若過點(diǎn)P的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A、B求證:∠AFM=∠BFN;

   (3)求三角形ABF面積的最大值。

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把橢圓
x2
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9
=1的長(zhǎng)軸AB五等份,過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線,分別與橢圓的上半部分交于C、D、E、G四點(diǎn),設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn),則|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年天津25中高三(下)月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn),直線l為左準(zhǔn)線,直線l與x軸交于P點(diǎn),MN為橢圓的長(zhǎng)軸,已知,且
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),求△ABF面積的最大值.

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