Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件：f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根，則△=0，得b，又由f（2）=0，可求a，從而求得f（x）．
（2）先配方確定函數(shù)的對稱軸，從而可求函數(shù)在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）由的最大值，確定n≤

1

4

，從而知當n≤

1

4

時，f（x）在[m，n]上為增函數(shù)．若滿足題設條件的m，n存在，則

f(m)=2m f(n)=2n

，從而可求m，n的值．

解答：解：（1）∵f（2）=0∴4a+2b=0 ①
又方程f（x）=x有等根，即ax²+bx-x=0的判別式為零
∴（b-1）²=0
∴b=1
代入①a=-

1

2

∴f（x）=-

1

2

x2+x
（2）f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

∴函數(shù)的對稱軸為x=1
∴當x=1時，函數(shù)取得最大值為f(1)=

1

2

；
當x=-3時，函數(shù)取得最小值為f(-3)=-

15

2

； 
 （3）∵f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，
∴2n≤

1

2

∴n≤

1

4

而f（x）=-

1

2

x2+x的對稱軸為x=1，
∴當n≤

1

4

時，f（x）在[m，n]上為增函數(shù)．
若滿足題設條件的m，n存在，則

f(m)=2m f(n)=2n

即

-m2+2m=4m -n2+2n=4n

∴

m=0或m=-2 n=0或n=-2

∵m＜n≤

1

4

．
∴m=-2，n=0，這時，定義域為[-2，0]，值域為[-4，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點評：本題以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查二次函數(shù)解析式的常用解法及分類討論，轉化思想，充分利用二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．