Question

（2013•天津一模）已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，an+1=2-

1

an

，數(shù)列{b_n}中bn=

1

an-1

，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)S_n是數(shù)列{

1

3

bn}的前n項(xiàng)和，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（Ⅲ）設(shè)T_n是數(shù)列{ (

1

3

)n•bn }的前n項(xiàng)和，求證：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件可得bn+1=

an

an-1

，再由bn=

1

an-1

，從而得到  bn+1-bn=

an

an-1

-

1

an-1

=1，由此證得結(jié)論
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，于是

1

Sn

=

6

n(n+1)

=6(

1

n

-

1

n+1

)，用裂項(xiàng)法求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知　(

1

3

)n•bn=n•(

1

3

)n，求出T_n的解析式，可得

1

3

T_n 的解析式，用錯(cuò)位相減法求出T_n的解析式，
從而可得要證的不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）bn+1=

1

an+1-1

=

1

1- 1 an

=

an

an-1

，而　bn=

1

an-1

，
∴bn+1-bn=

an

an-1

-

1

an-1

=1．n∈N^*
∴{b_n}是首項(xiàng)為b1=

1

a1-1

=1，公差為1的等差數(shù)列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，

1

3

bn=

1

3

n． ∴Sn=

1

3

(1+2+…+n)=

n(n+1)

6

，
于是

1

Sn

=

6

n(n+1)

=6(

1

n

-

1

n+1

)，
故有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=6(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=6(1-

1

n+1

)=

6n

n+1

．（9分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）可知　(

1

3

)n•bn=n•(

1

3

)n，
則Tn=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n．∴

1

3

Tn=1•(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+(n-1)(

1

3

)n+n•(

1

3

)n+1．
則 

2

3

Tn=

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n•(

1

3

)n+1=

1

2

[1-(

1

3

)n]-n•(

1

3

)n+1，
∴T_n=

3

4

-

1

4

(

1

3

)n-1-

n

2

•(

1

3

)n＜

3

4

．     （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，用裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．