已知圓x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直線kx－y－4k＋3＝0．

(1)求證：不論k取什么值，直線和圓總有兩個不同的公共點；

(2)求當(dāng)k取何值時，直線被圓截得的弦最短，并求這最短弦的長．

答案：
解析：

　　(1)證明：已知圓的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝4，其圓心(3，4)到直線kx－y－4k＋3＝0的距離為．

　　要證明直線和圓總有兩個不同的公共點，只要證＜2，即證(k＋1)2＜4(1＋k2)，即證3k2－2k＋3＞0．而3k2－2k＋3＝3(k－)2＋＞0成立．

　　(2)解：由于當(dāng)圓心到直線的距離最大時，直線被圓截得的弦最短，

　　而d＝，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時，“＝”成立，即k＝1時，dmax＝．

　　故當(dāng)k＝1時，直線被圓截得的弦最短，該最短弦的長為．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺一模）已知圓x2+y2-4x-2y-6=0的圓心在直線ax+2by-2ab=0上，其中a＞0，b＞0，則ab的最小值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：咸陽市2007年高考模擬考試(二)、數(shù)學(xué)試題(理科) 題型：013

已知圓x2＋y2＋mx－7＝0與拋物線x2＝16y的準(zhǔn)線相切，則m＝

[　　]

A．6

B．－6

C．

D．3

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已知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)對稱，則＋的最小值是

[　　]
A．

4

B．

6

C．

8

D．

9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：福建省泉州一中2012屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

已知圓x2＋y2－4x－2y－6＝0的圓心在直線ax＋2by－2ab＝0上，其中a＞0，b＞0，則ab的最小值是

[　　]

A．8

B．4

C．2

D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河南省輝縣市高二上學(xué)期第二次階段性考試數(shù)學(xué)卷 題型：選擇題

已知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)對稱，

則＋的最小值是

A．4           B．6           C．8            D．9

 

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