Question

已知函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

6

）
（1）若x₀∈[0，2π），且f（x₀）=

3

2

，求x₀的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，且函數(shù)y=g（x）是偶函數(shù)，求m的最小值；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0在x∈[0，

π

2

）上只有一個實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）通過f（x₀）=

3

2

，結(jié)合x₀∈[0，2π），即可求x₀的值；
（2）利用左加右減的原則，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求出函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)y=g（x）是偶函數(shù)，就求m的最小值；
（3）關(guān)于x的方程f（x）-a=0在x∈[0，

π

2

）上只有一個實(shí)數(shù)解，直接求a的取值范圍．

解答： 解：（1）f(x0)=3sin(2x0+

π

6

)=

3

2

∴sin(2x0+

π

6

)=

1

2

∴2x0+

π

6

=2kπ+

π

6

或2x0+

π

6

=2kπ+

5π

6

--------------------（3分）
∴x0=kπ或x0=kπ+

π

3

，k∈Z
∵x0∈[0，2π)∴x0=0或

π

3

或π或

4π

3

---------（5分）
（2）函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴g(x)=f(x-m)=3sin(2x-2m+

π

6

)，
∵g（x）是偶函數(shù)．
∴-2m+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z
∴m=-

kπ

2

-

π

6

∵m＞0∴mmin=

π

3

-----------------（10分）
（3）由y=f(x)，x∈[0，

π

2

)，即f（x）=3sin（2x+

π

6

），
f（x）-a=0在x∈[0，

π

2

）上只有一個實(shí)數(shù)解，
y=f（x）與y=a圖象只有一個交點(diǎn)，x∈[0，

π

2

）∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，
f（x）=3sin（2x+

π

6

）=3，此時(shí)方程只有一個解．
2x+

π

6

=

π

6

時(shí)，f（x）=3sin（2x+

π

6

）=

3

2

，
2x+

π

6

=

7π

6

時(shí)，f（x）=3sin（2x+

π

6

）=-

3

2

∴f（x）-a=0在x∈[0，

π

2

）上只有一個實(shí)數(shù)解，
得 -

3

2

＜a＜

3

2

或a=3-------（16分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的圖象的平移，函數(shù)的零點(diǎn)問題的應(yīng)用．