設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
(1)若x=1時,函數(shù)f(x)取得極值,求函數(shù)f(x)的圖象在x=-1處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(
12
,1)
內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為0,求出f(x)的 解析式,將x=-1代入f(x)求出切點坐標(biāo),將x=-1代入導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率,利用點斜式求出切線的方程.
(2)函數(shù)不單調(diào),即函數(shù)在區(qū)間(
1
2
,1)
有極值,即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解,令導(dǎo)函數(shù)為0,分離出a,求出a的范圍.
解答:解:(1)f'(x)=3x2+2ax+1由f'(1)=0得a=-2
∴f(x)=x3-2x2+x+1
當(dāng)x=-1時,y=-3即切點(-1,-3)
k=f'(x0)=3x02-4x0+1令x0=-1得k=8
∴切線方程為8x-y+5=0
(2f(x)在區(qū)間(
1
2
,1)
內(nèi)不單調(diào)即f′(x)=0在(
1
2
,1)
有解
∴3x2+2ax+1=0在(
1
2
,1)
有解
2a=-3x-
1
x

令h(x)=-3x-
1
x

∴令h′(x)=-3+
1
x2
<0
解得
3
3
<x<1

h′(x)=-3+
1
x2
>0
解得
1
2
<x<
3
3

知h(x)在(
3
3
,1)
單調(diào)遞減,在(
1
2
3
3
)
單調(diào)遞增
h(1)<h(x)≤h(
3
3
)

即h(x)∈[-4,-2
3
]

-4<2a≤-2
3

-2<a≤-
3

而當(dāng)a=-
3
時,f′(x)=3x2-2
3
x+1=(
3
x-1)2≥0

∴舍去
綜上a∈(-2,-
3
)
點評:本題考查函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0;導(dǎo)函數(shù)在切點處的值為切線的斜率;考查解決方程有解問題常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.
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