Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足，T_n為{b_n}的前n項和，試比較T_n與的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用，其中a₁=1，a_n≠0，令n分別取1，2即可得出；
（II）由已知可知，可得．由于a_n+1≠0，轉(zhuǎn)化為一個分奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列：a_n+2-a_n=2
（n∈N^*）． 即可得出通項a_n．
（III）   要比較T_n與的大小，只需比較2T_n與log₂（2a_n+1）的大�。�利用（II）和已知條件即可得出2T_n，令f（n）=2T_n-log₂（2a_n+1），比較f（n+1）與f（n）的大小即可得出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵，其中a₁=1，a_n≠0．
∴，
．
（Ⅱ）由已知可知，故．
∵a_n+1≠0，∴a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．         
于是 數(shù)列{a_2m-1}是以a₁=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
數(shù)列{a_2m}是以a₂=2為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴a_2m=2+2（m-1）=2m，
∴a_n=n（n∈N^*）．                     
（Ⅲ）可知．下面給出證明：
要比較T_n與的大小，只需比較2T_n與log₂（2a_n+1）的大小．
由，得，，
故．            
從而 ．
=
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=-log₂（2n+1）
=
=．
設(shè)，
則，
故=，
又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．
所以對于任意 n∈N^*都有，
從而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以．
即  ．
點評：本題考查了數(shù)列的通項a_n與S_n之間的關(guān)系，分類討論的思想方法，等差數(shù)列的通項公式，對數(shù)的運算性質(zhì)，作差法和作商比較兩個數(shù)的大小等知識與方法，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．本題需要較強的計算能力和轉(zhuǎn)化能力．