Question

用長(zhǎng)為16米的籬笆借助一墻角圍成一個(gè)矩形ABCD（如圖所示），在P處有一棵樹(shù)距兩墻的距離分別為a（0＜a＜12）米和4米，現(xiàn)需要將此樹(shù)圈進(jìn)去，設(shè)矩形ABCD的面積為y（平方米），長(zhǎng)BC為x（米）．
（1）設(shè)y=f（x），求y=f（x）的解析式并指出其定義域；
（2）試求y=f（x）的最大值與最小值之差g（a）．

Answer 1

解：（1）要使樹(shù)被圈進(jìn)去，則ABCD中BC≥a，CD≥4，
因?yàn)榛h笆長(zhǎng)為16米，所以當(dāng)長(zhǎng)BC=x米時(shí)，寬CD=（16-x）米．
由于BC≥a，CD≥4，故a≤x≤12，
所以面積y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x，其定義域?yàn)閤∈[a，12]
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]
對(duì)稱(chēng)軸x=8，又因?yàn)?＜a＜12
所以，當(dāng)8≤a＜12時(shí)，y_max=-a²+16a，y_min=48，此時(shí)g（a）=-a²+16a-48；
當(dāng)4≤a＜8時(shí)，y_max=64，y_min=48，此時(shí)g（a）=64-48=16；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，y_max=64，y_min=-a²+16a，此時(shí)g（a）=a²-16a+64；
綜上：
分析：（1）要使樹(shù)被圈進(jìn)去，則ABCD中BC≥a，CD≥4，由此可確定函數(shù)的變量的范圍．設(shè)長(zhǎng)BC=x米，寬CD=（16-x）米，所以面積y=f（x）=x（16-x）=-x²+16x；
（2）由（1）得，y=f（x）=-x²+16x=-（x-8）²+64，x∈[a，12]，由于對(duì)稱(chēng)軸x=8，根據(jù)0＜a＜12，故要進(jìn)行分類(lèi)討論：即8≤a＜12；4≤a＜8；0＜a＜4，從而可求y=f（x）的最大值與最小值之差g（a）．
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查二次函數(shù)最值的求解，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確分類(lèi)．