Question

（2010•江西模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：e^x+y=x+1．（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；（2）解關(guān)于x的不等式ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)式子e^x+y=x+1把y用x表示，就可得到函數(shù)y=f（x）的解析式，求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)大于0，得到的x的范圍是函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，得到的x的范圍是函數(shù)的減區(qū)間，所以只需判斷在函數(shù)定義域中何時(shí)導(dǎo)數(shù)大于0，何時(shí)導(dǎo)數(shù)小于0，就可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）先把要解的不等式ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

變形為In(1+

x+1

)-

x+1

＞In(1+2)-2，不等號(hào)的左右兩邊分別是函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x當(dāng)自變量為

1+x

和2時(shí)的函數(shù)值，再根據(jù)f（x）的單調(diào)性就可解出不等式．

解答：解：（1）∵實(shí)數(shù)x，y滿足：e^x+y=x+1，變形，得x+y=ln（x+1），
∴y=ln（x+1）-x，
又∵y=f（x）∴f（x）=ln（x+1）-x，（x＞-1）
則f′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0； 
 當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0
∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

變形為In(1+

x+1

)-

x+1

＞In(1+2)-2
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴不等式In(1+

x+1

)-

x+1

＞In(1+2)-2等價(jià)于f（

1+x

）＞f（2）
由（1）知f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（

1+x

）＞f（2）等價(jià)于

1+x

＜2
解得-1＜x＜2
∴不等式ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

解集為 {x|-1＜x＜2}

點(diǎn)評(píng)：本題（1）考察了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)為減函數(shù)．
（2）考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，關(guān)鍵是把不等式的左右兩邊都化為含函數(shù)符號(hào)的式子．