Question

4．已知橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)；
（1）求橢圓Г的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A在橢圓Г上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，求證：$\frac{1}{O{A}^{2}}+\frac{1}{O{B}^{2}}$為定值；
（3）設(shè)點(diǎn)C在橢圓Г上運(yùn)動(dòng)，OC⊥OD，且點(diǎn)O到直線CD的距離為常數(shù)$\sqrt{3}$，求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出橢圓Г的方程．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），則OB的方程x₀x+y₀y=0，由y=2，得B（-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），由此能證明$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$為定值$\frac{1}{2}$．
（3）設(shè)C（x₀，y₀），D（x，y），由OC⊥OD，得x₀x+y₀y=0，又C點(diǎn)在橢圓上，得：$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，從而${{x}_{0}}^{2}=\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，${{y}_{0}}^{2}=\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，由此能求出D點(diǎn)軌跡方程．

解答 解：（1）∵橢圓Γ：$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴b=c=$\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{2+2}$=2，
∴橢圓Г的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
證明：（2）設(shè)A（x₀，y₀），則OB的方程x₀x+y₀y=0，
由y=2，得B（-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），
∴$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}$=$\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{4（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}$=$\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{4（{{x}_{0}}^{2}+2-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}）}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$為定值$\frac{1}{2}$．
解：（3）設(shè)C（x₀，y₀），D（x，y），由OC⊥OD，得x₀x+y₀y=0，①
又C點(diǎn)在橢圓上，得：$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，②
聯(lián)立①②，得：${{x}_{0}}^{2}=\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，${{y}_{0}}^{2}=\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，③
由OC⊥OD，得OC•OD=$\sqrt{3}$CD，
∴OC²•OD²=3（OC²+OD²），
∴將③代入得：
$\frac{1}{O{C}^{2}}+\frac{1}{O{D}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\frac{1}{\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\frac{2{x}^{2}+{y}^{2}+4}{4（{x}^{2}+{y}^{2}）}$=$\frac{1}{3}$，
化簡(jiǎn)，得D點(diǎn)軌跡為$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{6}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)式和為定值的證明，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)及橢圓與直線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．