Question

【題目】在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ（0≤θ＜2π），點M（1， ），以極點O為原點，以極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．已知直線l： （t為參數）與曲線C交于A，B兩點，且|MA|＞|MB|．
（1）若P（ρ，θ）為曲線C上任意一點，求ρ的最大值，并求此時點P的極坐標；
（2）求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ+2sinθ=2 （0≤θ＜2π），

當θ= 時，ρ取得最大值2 ，此時P ．

（2）由ρ=2cosθ+2sinθ可得：ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐標方程：x2+y2﹣2x﹣2y=0．

配方為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

點M（1， ）化為（0，1），

直線l： （t為參數）代入圓的方程可得：t2﹣ t﹣1=0，解得t= ．

∵|MA|＞|MB|．由t的幾何意義可得：|MA|= ，|MB|= ．

∴ = =2+ ．

【解析】（1）對曲線C的極坐標方程進行三角恒等變換，根據正弦函數的最值可得P點的坐標；（2）將曲線C的方程化為直角坐標方程，將直線l的參數方程代入圓的方程，由t的幾何意義求.