Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+ln（x+1）．
（1）當a=﹣ 時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時， ，

∴

解f′（x）＞0得﹣1＜x＜1；

解f′（x）＜0得x＞1．

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣1，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）

（2）解：因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)，

∴ 對x∈[1，+∞）恒成立

即a≤ 對x∈[1，+∞）恒成立

∴a≤﹣

（3）解：∵當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，

即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，

設g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），

只需g（x）max≤0即可

由

①當a=0時， ，

當x＞0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

∴g（x）≤g（0）=0成立

②當a＞0時，令g′（x）=0，

∵x≥0，

∴解得

1）當 ，即 時，在區(qū)間（0，+∞）上g′（x）＞0，

則函數(shù)g（x）在（0．+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（x）在[0，+∞）上無最大值，不合題設．

2）當 時，即 時，在區(qū)間 上g′（x）＜0；

在區(qū)間 上g′（x）＞0．

∴函數(shù)g（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，

同樣g（x）在[0，+∞）無最大值，不滿足條件．

③當a＜0時，由x≥0，故2ax+（2a﹣1）＜0，

∴ ＜0，

∴函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，

∴g（x）≤g（0）=0成立，

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]

【解析】（1）當 時，直接對f（x）求導，解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)可確定a≤ ，又 最小值為 ，從而可確定a的取值范圍；（3）不等式f（x）﹣x≤0可化簡為ax2+ln（x+1）﹣x≤0，分情況討論，a=0，a＜0和a＞0時ax2+ln（x+1）﹣x≤0是否恒成立即可．