Question

如圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點P（點P不在C上）且半徑相等．設(shè)第i段弧所對的圓心角為α_i（i=1，2，3），則cos

α1

3

cos

α2+α3

3

-sin

α1

3

sin

α2+α3

3

=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ公式的逆運算得到cos

α1

3

cos

α2+α3

3

-sin

α1

3

sin

α2+α3

3

=cos

α1+α2+α3

3

，由題意可知，α₁+α₂+α₃=2π得到cos

α1+α2+α3

3

=cos

4π

3

=-

1

2

．

解答：解：cos

α1

3

cos

α2+α3

3

-sin

α1

3

sin

α2+α3

3

=cos

α1+α2+α3

3

，方法
可令同過P點的三圓的交點分別是A，B，C，連接PA，PB，PC，可得得出∠APB+∠APC+∠BPC=2π
因為在各個圓的半徑相等，故此三個角的大小都為

2π

3

由于在圓中同弦所對的圓周角互補，故在各個圓中，AB，BC，CA所與三角相對的圓周角為

π

3

故AB，BC，CA所對的圓心角是

2π

3

，
又α₁+α₂+α₃=2π，所以cos

α1+α2+α3

3

=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點評：此題考查學生利用兩角和與差的余弦函數(shù)的能力．