Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx
（1）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意的恒成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1時求出f′（x），然后在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0；
（2）對任意的恒成立，等價于對x∈（0，），a＞2-恒成立，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最值；
解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，則f′（x）=1-，
由f′（x）＞0，x＞2；f′（x）＜0，得0＜x＜2． 
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；
（2）對任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即對x∈（0，），a＞2-恒成立，
令l（x）x=2-，x∈（0，），
則l′（x）==，
再令m（x）=21nx+-2，x∈（0，），則m′（x）=-+=＜0，
故m（x）在（0，）上為減函數(shù)，
于是m（x）＞m（）=2-2ln2＞0，
從而，l′（x）＞0，于是l （x）在（0，）上為增函數(shù)，
所以l（x）＜l（）=2-41n2，
故要使a＞2-恒成立，只需a≥2-41n2．
∴a的最小值為2-4ln2．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)最值，考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．