Question

已知定義在全體實(shí)數(shù)上的偶函數(shù)y=f（x）在（-∞，0］上單調(diào)遞減.

（1）說(shuō)明函數(shù)y=f（x）在［0，+∞）上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)y=f（x）在（-∞，0］上單調(diào)遞增，說(shuō)明函數(shù)y=f（x）在［0，+∞）上的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)，又有什么樣的結(jié)論?

Answer 1

思路解析：本題綜合考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

解：（1）任取x₁、x₂∈［0，+∞，使得0＜x₁＜x₂，則有-x₂＜-x₁＜0.因?yàn)閥=f（x）在（-∞，0上單調(diào)遞減，所以有f（-x₂）＞f（-x₁）.     ①

又因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)〔f（-x）=f（x）〕，所以由①式可得f（x₂）＞f（x₁），且0＜x₁＜x₂，即函數(shù)y=f（x）在［0，+∞上為增函數(shù).

（2）任取x₁、x₂∈［0，+∞，使得0＜x₁＜x₂，則有-x₂＜-x₁＜0.因?yàn)閥=f（x）在（-∞，0上單調(diào)遞增，所以有f（-x₁）＞f（-x₂）.       ②

又因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)〔f（-x）=f（x）〕，所以由②式可得f（x₁）＞f（x₂），且0＜x₁＜x₂，即函數(shù)y=f（x）在［0，+∞)上為減函數(shù).

（3）類似可得當(dāng)函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)時(shí)，①若y=f（x）在（-∞，0上單調(diào)遞減，則y=f（x）在［0，+∞上單調(diào)遞減.②若y=f（x）在（-∞，0上單調(diào)遞增，則y=f（x）在［0，+∞上單調(diào)遞增.