Question

已知函數f（x）=log₂（x+m），m∈R
（ I）若f（1），f（2），f（4）成等差數列，求m的值；
（ II）若a、b、c是兩兩不相等的正數，且a、b、c依次成等差數列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）因為f（1），f（2），f（4）成等差數列，所以2f（2）=f（1）+f（4），
即：2log₂（2+m）=log₂（1+m）+log₂（4+m），即log₂（2+m）²=log₂（1+m）（4+m），得
（2+m）²=（1+m）（4+m），得m=0．
（2）若a、b、c是兩兩不相等的正數，且a、b、c依次成等差數列，
設a=b-d，c=b+d，（d不為0）；
f（a）+f（c）-2f（b）=log₂（a+m）+log₂（c+m）-2log₂（b+m）=log₂

(a+m)(c+m)

(b+m)2

因為（a+m）（c+m）-（b+m）²=ac+（a+c）m+m²-（b+m）²=b²-d²+2bm+m²-（b+m）²=-d²＜0
所以：0＜（a+m）（c+m）＜（b+m）²，
得0＜

(a+m)(c+m)

(b+m)2

＜1，得log₂

(a+m)(c+m)

(b+m)2

＜0，
所以：f（a）+f（c）＜2f（b）．