Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1），（c為常數(shù)）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=(

1

2

)nan，是否存在常數(shù)c，使得數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列，若存在求出c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）可得到

an+1

n+1

-

an

n

=c，進而可得到數(shù)列{

an

n

}是首項為1，公差為c的等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得到

an

n

=1+（n-1）c，從而得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）先根據(jù)（1）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再由數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列可得到b_n+1-b_n=

-c(n+1)2+(3c-1)n+1

2n+1

＜0對任意的n∈N^*恒成立，然后令n=1、2、3分別求出c的范圍，再由根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的c的范圍與上面求出的c的范圍矛盾，故可得到實數(shù)c不存在．

解答：解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴

an+1

n+1

=

an

n

+c，即

an+1

n+1

-

an

n

=c
從而數(shù)列{

an

n

}是首項為1，公差為c的等差數(shù)列
∴

an

n

=1+（n-1）c，即a_n=cn²+（1-c）n
（2）bn=(

1

2

)nan=

cn2+(1-c)n

2n

∵數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列
∴bn+1-bn=

c(n+1)2+(1-c)(n+1)

2n+1

-

cn2+(1-c)n

2n

=

-c(n+1)2+(3c-1)n+1

2n+1

＜0對任意的n∈N^*恒成立
∴-cn²+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n²）＜n-1①
當(dāng)n=1時，由①得c＜0
當(dāng)n=2時，由①得c＜

1

2

當(dāng)n=3時，由①得c∈R
當(dāng)n≥4時，c＞

n-1

3n-n2

設(shè)f（x）=

x-1

3x-x2

(x≥4)，則f'（x）=

x2-2x+3

(3x-x2)2

=

(x-1)2+2

(3x-x2)2

＞0
∴f（x）在[4，+∞）上是增函數(shù)，從而-

3

4

≤f(x)＜0
∴c≥0
綜上可知，滿足條件的實數(shù)c不存在．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法和根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的范圍的問題．考查綜合運用能力和運算能力．