試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力,考查學(xué)生的分類討論思想、函數(shù)思想.第一問,對(duì)
求導(dǎo),將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入得到切線的斜率,再將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到
中,得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式得到切線的方程;第二問,
在定義域
內(nèi)是增函數(shù),只需
在
恒成立,對(duì)
求導(dǎo),由于分母恒正,只需分子
在
恒成立,設(shè)函數(shù)
,利用拋物線的性質(zhì)求出
,令
即可,解出P的值;第三問,先通過函數(shù)
的單調(diào)性求出
的值域,通過對(duì)P的討論研究
的單調(diào)性,求出
的值域,看是否有值大于
的最小值為2.
(1)當(dāng)
時(shí),函數(shù)
,
.
,曲線
在點(diǎn)
處的切線的斜率為
.
從而曲線
在點(diǎn)
處的切線方程為
,即
.…4分
(2)
.
令
,要使
在定義域
內(nèi)是增函數(shù),只需
在
內(nèi)恒成立.
由題意
,
的圖象為開口向上的拋物線,對(duì)稱軸方程為
,∴
, 只需
,即
時(shí),
∴
在
內(nèi)為增函數(shù),正實(shí)數(shù)
的取值范圍是
.……9分
(3)∵
在
上是減函數(shù),
∴
時(shí),
;
時(shí),
,即
,
①當(dāng)
時(shí),
,其圖象為開口向下的拋物線,對(duì)稱軸
在
軸的左側(cè),且
,所以
在
內(nèi)是減函數(shù).
當(dāng)
時(shí),
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052718947306.png" style="vertical-align:middle;" />
,所以
,
,
此時(shí),
在
內(nèi)是減函數(shù).
故當(dāng)
時(shí),
在
上單調(diào)遞減
,不合題意;
②當(dāng)
時(shí),由
,所以
.
又由(2)知當(dāng)
時(shí),
在
上是增函數(shù),
∴
,不合題意;
③當(dāng)
時(shí),由(2)知
在
上是增函數(shù),
,
又
在
上是減函數(shù),故只需
,
,
而
,
,
即
,解得
,
所以實(shí)數(shù)
的取值范圍是
. 14分