Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．

①寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
②求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.

Answer 1

①y＝4π(c－2)r²＋，0<r≤2②當(dāng)3<c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝2；當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)，r＝ .

①設(shè)容器的容積為V，
由題意知V＝πr²l＋πr³，又V＝，
∴l＝.
由于l≥2r，∴≥2r，∴0<r≤2.
所以建造費(fèi)用y＝2πrl×3＋4πr²c＝2πr××3＋4πr²c
因此，y＝4π(c－2)r²＋，0<r≤2.
②由①知y′＝8π(c－2)r－＝，
由于c>3，
∴c－2>0.由y′＝0得r＝
若0< <2，即c>時(shí)，此時(shí)0<r< 時(shí)，y′<0，<r<2時(shí)，y′>0.
∴r＝時(shí)，y取得極小值．
若 ≥2，即3<c≤時(shí)，0<r<2時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴r＝2時(shí)，y取得極小值．
總之，當(dāng)3<c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝2；
當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)，r＝ .