Question

對于企業(yè)來說，生產成本、銷售收入和利潤之間的關系是個重要的問題．對一家藥品生產企業(yè)的研究表明，該企業(yè)的生產成本y（單位：萬元）和生產收入z（單位：萬元）都是產量x（單位：t）的函數，分別為：y=x³-24x²+63x+10，Z=18x．
①試寫出該企業(yè)獲得的生產利潤w（單位：萬元）與產量x之間的函數關系式；
②當產量為多少時，該企業(yè)可獲得最大利潤？最大利潤為多少？

Answer 1

解：①由題意，利用銷售收入減去生產成本，可得生產利潤w=18x-（x³-24x²+63x+10）=-x³+24x²-45x-10（x＞0）；
②求導函數可得：w′=-3x²+48x-45=-3（x-1）（x-15）
∴函數在（1，15）上是單調增函數，在（15，+∞）上是單調減函數
∴x=15時，可獲得最大利潤w=-3375+5400-675-10=1340萬元
∴產量為15t時，該企業(yè)可獲得最大利潤，最大利潤為1340萬元．
分析：①由題意，利用銷售收入減去生產成本，可得生產利潤函數；
②求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數的最大值．
點評：本題考查函數模型的構建，考查利用導數知識解決實際問題，正確構建函數是關鍵．