Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f'（x）-6，對(duì)任意的-1＜x＜1，都有g(shù)（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a≤0時(shí)，請(qǐng)問：是否存在整數(shù)a的值，使方程f（x）=15有且只有一個(gè)實(shí)根？若存在，求出整數(shù)a的值；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知f′（1）=3+3a=6，解方程即可求得結(jié)果；
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x），根據(jù)對(duì)任意的-1＜x＜1，都有g(shù)（x）＜0成立，即g（x）=3x²+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，即可求得結(jié)果；
（Ⅲ）求出函數(shù)f（x）的極值，要使方程f（x）=15有且只有一個(gè)實(shí)根，只需∴（f（x）_極小值-15）•（f（x）_極大值-15）＞0，解此不等式即可求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+3a
∴f′（1）=3+3a=6
∴a=1
（Ⅱ）∵g（x）=3x²+3a-6
∴g（x）=3x²+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立．
∴a＜-x²+2在（-1，1）上恒成立．
而-x²+2＞1在（-1，1）上恒成立．
∴a≤1
（Ⅲ）存在
理由如下：
方程f（x）=15有且只有一個(gè)實(shí)根，
即為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=15有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
由f′（x）=3x²+3a
（1）若a=0，則f′（x）≥0，∴f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增
此時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=15有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（2）若a＜0，則f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)
列表如下：

x	（-∞，- -a ）	- -a	（- -a ， -a ）	-a	（ -a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴（f（x）_極小值-15）•（f（x）_極大值-15）＞0，得：[(

-a

)3-8][(

-a

)3+8]＜0
∴0＜(

-a

)3＜8，解得-4＜a＜0
綜上所述，-4＜a≤0又a∈Z，
即 a為-3、-2、-1、0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)恒成立的條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，屬難題．