Question

6．在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB⊥AC．
（2）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AD中點(diǎn)為F，連接BF、PF，推導(dǎo)出△ABC∽△FAB，從而AC⊥BF，推導(dǎo)出PF⊥AC，由此能證明AC⊥PB．
（2）過E作EH∥PF，EH交AD于H，過H作HO⊥AC，交AC于O，連接EO，則∠EOH為二面角E-AC-D的平面角，由此能求出二面角E-AC-D的正切值．

解答 證明：（1）設(shè)AD中點(diǎn)為F連接BF、PF．
∵PA=PD=AB=a，∴$AD=BC=\sqrt{2}a，AF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$．
∴△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…（4分）
又∵PF⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD．
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PF⊥面ABC，∴PF⊥AC，
∴AC⊥平面PBF，AC⊥PB．…（6分）
解：（2）過E作EH∥PF，EH交AD于H，
過H作HO⊥AC，交AC于O，連接EO．
由（1）知EH⊥面ACD，HO⊥AC，
∴∠EOH為二面角E-AC-D的平面角…（8分）
$EH=\frac{1}{2}PF=\frac{{\sqrt{2}}}{4}a$．
$OH=AHsin∠HAO=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}a•\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}a$．
∴$tan∠EOH=\frac{EH}{OH}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴二面角E-AC-D的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．