Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

x-a

（a＜0）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域及單調(diào)區(qū)間；
（2）若實(shí)數(shù)x∈（a，0]時(shí)，不等式f(x)≥

1

2

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的分母不為0，可求函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，令其大于0（小于0），結(jié)合函數(shù)的定義域，可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可知，a＜0，且f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

時(shí)，實(shí)數(shù)x∈（a，0]時(shí)，使得不等式f(x)≥

1

2

恒成立，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠a}….1分f′(x)=

ex(x-a)-ex•1

(x-a)2

=

ex[x-(a+1)]

(x-a)2

．….3分
由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a+1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a），（a，a+1）．….6分
（2）由題意可知，a＜0，且f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

時(shí)，實(shí)數(shù)x∈（a，0]時(shí)，
使得不等式f(x)≥

1

2

恒成立．
①若a+1＜0即a＜-1時(shí)，

x	（a，a+1）	a+1	（a+1，0）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴f（x）在（a，0]上的最小值為f（a+1）=e^a+1．則ea+1≥

1

2

，得a≥ln

1

2

-1….9分
②若a+1≥0即a≥-1時(shí)，f（x）在（a，0]上單調(diào)遞減，則f（x）在（a，0]上的最小值為f(0)=-

1

a

．
由-

1

a

≥

1

2

得a≥-2．                                              …10分
綜上所述，0＞a≥ln

1

2

-1….12分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．