Question

11．設(shè)f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并按單調(diào)性定義證明．
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)0≤x₁＜x₂，已知函數(shù)的解析式，利用定義法進行求解．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．理由如下：
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=-1+$\frac{2}{1+{x}^{2}}$在區(qū)間[0，+∞），
可以設(shè)0≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，（1+x₁²）（1+x${{\;}_{2}}^{2}$）＞0，
可得f（x₁）-f（x₂）=（-1+$\frac{2}{1+{{x}_{1}}^{2}}$）-（-1+$\frac{2}{1+{{x}_{2}}^{2}}$）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
得證．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，則f（x）_最大值=f（0）=$\frac{1-0}{1+0}$=1，故f（x）的值域是（-∞，1]．

點評 此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，是一道基礎(chǔ)題，考查的知識點比較單一．