Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE，△ABC是正三角形．
（Ⅰ）求證：平面BDE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求平面ABE與平面BCD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取BC、BD的中點(diǎn)M、N，連接AM、EN和MN，
則．
∵AE，∴MNAE，
又AE⊥平面ABC，AM⊆面ABC，∴AE⊥AM，
∴ABMN為矩形，∴NE⊥MN．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，
∵△ACD為正三角形，N為CD的中點(diǎn)，
∴AN⊥CD，又面CDE∩面ACD=CD，
∴AN⊥面CDE，∴CM⊥面CDE，∴面BCE⊥面CDE；
（Ⅱ）解：過(guò)C作直線(xiàn)l∥AB，則l∥DE，
∴面ABC∩面EDC=l．
∵AB⊥平面ACD，∴l(xiāng)⊥面ACD，
∴∠ACD即為所求二面角的平面角，為60⁰．
分析：（Ⅰ）取BC、BD的中點(diǎn)M、N，連接AM、EN和MN，則．由AE，知MNAE，由AE⊥平面ABC，知AE⊥AM，所以ABMN為矩形，NE⊥MN．由此入手能夠證明面BCE⊥面CDE．
（Ⅱ）過(guò)C作直線(xiàn)l∥AB，則l∥DE，所以面ABC∩面EDC=l．由AB⊥平面ACD，知l⊥面ACD，所以∠ACD即為所求二面角的平面角，由此能求出其結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明和求二面角的大小，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意把空間幾何問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題．